主体的・対話的で深い学びの実践に向けた、中学数学・高校数学における「話題」や「活動」を思い付くままに挙げていきます。○は話題、●は活動です。

（2022年11月5日更新）

中１

● 小学校の学習事項を振り返り，中学校で学びたいことを挙げてみよう。

● 算数・数学を学ぶ上で必要な力や身に付けたい力は，どのような力だろうか？書き出してみよう。（そのあと，実際に簡単な課題をし，どのような力を使ったか確認してみる。）

● 「間違え」を分類しよう。計算ミスを共有しよう。自分がしやすい計算ミスを見つけていこう。

● 九九の表の数を全部たすといくつになるか考えてみよう。求めた過程を共有しよう。

第１章正の数・負の数

● 天気予報の映像を見て、どのようなところに数が使われているか見つけよう。

● 「9」「 | 」「3」「6」を並び替えてできる最小の数は何でしょう。（テレビ番組「頭脳王」より）（答えは－993）

● 身の回りにある「マイナス」を探してみよう。→どんなときに「マイナス」を用いるのかな。分類してみよう。

● 上記の「身の回りにある『マイナス』」を踏まえて、加減乗除を考えてみよう。

● 「0」の意味を考えてみよう。

● トランプゲーム（加法の導入）

● 魔法陣を完成させよう。

● 円魔方陣を完成させよう。円魔方陣の性質を見いだそう。

● 魔方陣の性質を発見し，その性質を用いて，一から魔方陣をつくってみよう。

○ 減法においては，交換法則・結合法則は成り立たないのか。

● aの10乗とaの100乗はどちらが大きいだろうか？

● 指数がついた単位を思い出して，なぜそのような表記なのか考えてみよう。

● -1の累乗の規則性を見つけ出そう。

○ 累加

○ 累乗の拡張（0乗，マイナス乗）

● 紙を10回折ると，何枚分の厚さになる？

○ 単位につける接頭語（ギガ，ミリなど）

● 乗法をもとに除法による符号の変化の規則を導き出そう。

● 7÷0=？ 0÷0=？

● 「正負の数でわることはその数の逆数をかけることと同じである」理由を考えよう。

● 分数に負の符号をつけるとき，どこにつけるべきなのだろうか？（数学的にはどのパターンも等しいが，中３の有理化と同様，通分する場面や小数に変換する場面を考えたときに差があるのかも。負の符号の定義を考慮すると，先頭に書くべきなのか。分母にかくメリットは特別な場合を除いてなさそう。）

● 小数・分数それぞれの利点・欠点を考えてみよう。

● かっこの種類について調べよう。他の国ではどのようなかっこが使われているだろうか。

● 4つの4

● 4つの数から10をつくろう（ナンバープレート）。

● 小町算をつくりだそう。

● 「a → a」「a → －a」はどのような操作か。（関数の導入でも似たようなことができる。）

● 交換法則・結合法則・分配法則を使うと計算がラクになる場面をまとめよう。

● 分配法則を図形で説明してみよう。

○ ベン図

○ 集合の共通部分

○ 反例

○ 結合法則，交換法則，分配法則が成り立たない世界

○ 群・環・体

● 工夫して素数を見つけ出そう。

○ エラトステネスのふるい

○ 素数の判定法

○ 素数が無限に存在することの証明

● 素因数分解の順番を吟味しよう。（30000を素因数分解する方法を考えよう。）

● 2021年にアメリカでセミ（17年ゼミ）が大量発生した理由を数学的に説明しよう。

○ 素数と暗号

○ 違法素数

● クラス全員の身長の平均を工夫して求めよう。

● 1週間の体温の平均を工夫して求めよう。

● 検温表をアレンジしよう。

● 負の数が使えるようになって便利だと思ったことを挙げてみよう。

第２章　文字と式

● 数列の規則性（どんな規則があるかな？（　）にあてはまる数は？）

● マッチ棒の規則性

○ 文字の意義

● これまでに習った図形の公式や計算法則を文字を使って表してみよう。

● 数あてゲーム

○ 円周率の歴史

○ 円周率が３より大きく４より小さい理由

● 身の回りや地域で「以上」「以下」「未満」などの言葉が使われているものや場面を探してみよう。

● 文字式の計算と数の計算を比べて，共通点や相違点を挙げてみよう。

○ 江戸時代に数学で用いていた文字（甲，乙など）

○ 他国で使われている数学の文字

第３章　１次方程式

● 等式の性質を天秤を用いて説明してみよう。

● 天秤の図から重さをあてよう（左が同じ質量の箱３個と50gのおもりで，右が500gのおもりといったような図から箱の重さを求める。このような問題を式で表すことで，方程式の導入をする。これまでに学んだ四則計算だけで方程式が解けることにも気づかせる。）。逆に，方程式を図で表す活動も考えられる。

● 解が10になる1次方程式をつくって，共通点を見いだそう。

● 「分数を含む方程式は最小公倍数をかける」は本当に最善策なのか追求してみよう。

● 「小数を含む方程式は10倍，100倍，…する」は本当に最善策なのか追求してみよう。

● 定数πを含む方程式

● 比例式の性質を見つけ，その理由を説明しよう。

● 比例式を使って，地球・月・太陽などの天体模型をつくってみよう。

● 比例式を使って，地球・月・太陽などの天体を，身近なもの（テニスボール，バスケットボールなど）に例えよう。

● つるかめ算を方程式で解こう。また，方程式の良さを見つけよう。

● 文章題において方程式の解が「問題にあわない」例を挙げ，問題をつくってみよう。

● 1次方程式の利点を挙げてみよう。

第４章　比例と反比例

● 日常生活において，時間とともに変化する数量を挙げてみよう。

○ 関数の起源，関数の由来

● 「1 → 4，10 → 13，57 → 60」に共通する操作は何だろうか。似たような問題に取り組もう。また，似たような問題をつくってみよう。

● 表を読み取る練習をしよう。（縦と横の視点から。ここでは比例・反比例以外に，y=x+aも挙げてみたい。）

● 関数「y=1000-x」が比例ではないのはなぜ？

● 個数売り・グラム売りの店の値段は比例している？（比例している店と比例していない店がある。例えば、ある唐揚げ屋では個数売りで、2個250円、4個500円、6個750円、8個1000円、……となっていて、比例している。ケンタッキーでは個数売りで、1ピース250円、2ピース490円、3ピース740円、4ピース980円、……となっていて、比例していない。）

○ 比例と比例式

○ 変域の端点

● 数学で学んだ「（直交）座標」と社会で学んだ「緯度・経度」を比較してみよう。

● 身の回りにある「座標」の考え方やそれに似た「地点の表し方」を探してみよう（将棋，地図など）。

● ユーフォーキャッチャーを「座標」で説明しよう。

● 座標平面上の図形の面積を求めよう。

○ グラフは点の集まり

● 比例のグラフの性質を見つけ出そう。

● ランドルト環のしくみ（ランドルト環をつくってみよう！）

● 反比例のグラフの性質を見つけ出そう。

○ さまざまな双曲線

● 比例のグラフと反比例のグラフの交点の性質を見いだそう。

● 身の回りにある「比例」「反比例」を探そう。

● 比例と反比例を比較して，共通点や相違点を挙げよう。

● 式，表，グラフの利点・欠点を比較しよう。

● yがxに比例するとき，xはyに比例するのか。また，yがxに反比例するとき，xはyに反比例するのか。（比例も反比例も全単射であり逆関数をもち，性質を保つ。式，表，グラフのどれかを使って，成り立つかどうか吟味させたい。）

第５章　平面図形

● 「・」は点？丸？円？「ー」は線？棒？長方形？点や線の意味を考えよう。

● 「点」や「線」の定義を調べてみよう。

● ユークリッドの『原論』による定義を調べよう。

● ユークリッドの『原論』の穴埋めに挑戦しよう。（点や線のような普段使っている言葉も，数学的に考える上では意味を定めることが重要であることを早い段階で感じさせたい。また，紀元前から考えられてきた事柄であることも知らせることで，歴史にも興味をもたせたい。）

● 企業のロゴマークや県章・市章をいろいろな視点で分類してみよう。線対称や点対称のデザインが人間の心理にどのような影響を与えているのか考えてみよう。

○ 「交わる」と「接する」と「共有する」

● 図形の移動のゲーム（３つの移動を使って説明する。）

○ 凧形の性質

● ２倍角を作図しよう。

● いろいろな角度の作図を考えよう。

● 正六角形の作図の方法を考えよう。

● 円の中心を作図しよう。

● 車のサイドミラーの可視範囲を作図しよう。

○ ルーローの三角形

○ 優弧と劣弧

● 面積がπになる図形をかけるだけかいてみよう。

● 弓形の面積を求めるためには，どのような情報が必要だろうか。

第６章　空間図形

● 立体をいろいろな視点から分類しよう。

● 道路と線路の関係を分類しよう。

● 立方体の切り口を分類しよう。

● 封筒を折って正四面体をつくってみよう。

● 身の回りにある正多面体を探してみよう。正多面体の構造が利用されている場面を探してみよう。（特に，正八面体，正十二面体，正二十面体を見つけたい。私は，ビジネスホテルの部屋のランプシェードが正二十面体の形をしていたのを見たことがある。）

○ 正多面体が5種類しかない理由

○ デルタ多面体，半正多面体，準正多面体

● 見取図と展開図の利点・欠点をそれぞれ挙げよう。

● 画用紙で展開図をつくって組み立ててみよう。

● 円柱の展開図として適切なのはどっち？（側面の周の辺の長さを意識しよう。）

● 伝票立ての形をした立体（円柱を斜めに切ってできる立体）の側面積と体積を求めよう。

● 円錐の展開図として適切なのはどっち？（中心角が劣角か優角か？）また、その判定法を見つけよう。

● シルエットから図形を予測しよう（投影図）

● 円錐の側面積の公式をつくろう。

● 三角パックはどんな図形だろうか。

第７章　データの活用

● ストップウォッチ10秒ゲームをして、データを分析しよう。

● どっちのチームが「強い」だろう？また、その根拠を述べてみよう。

● 「80点で嬉しいとき」と「80点で悲しいとき」、それぞれどんなときだろうか。

○ 2つの資料の比較・相関関係

○ 外れ値の影響

● コロナウイルスの感染者数を分析しよう。

● 印象操作を見破ろう。

● YouTubeのアナリティクスを見てみよう。どのような分析ができるだろうか？また，YouTuberはどのような動画をつくればよいだろうか？

中２

第１章　式の計算

○ 指数法則

● 次数に着目して，多項式の加減，単項式の乗除を考察しよう。

● 3a×5bが15abとなることを乗法の法則を用いて代数的に説明しよう。（ただし，ここでのaとbは数が入るものとして捉える。一般に，文字として捉えると，演算を定義し直すという立ち位置となり，厳密的に扱いにくい。）

● (2/3)xの逆数は何か考えよう。また，なぜそれが成り立つのか，逆数の定義に従って説明しよう。（逆数の定義は，分子と分母を入れ替えた数ではない。かけたら１になる他方の数のことである。）

○ 多項式環

● 数あてマジックのしくみを説明しよう。

● 「30を言ったら負け！」ゲームの必勝法を見いだそう。

● 連続する整数・偶数・奇数の和を調べて，比較しよう。また1個飛ばし，2個飛ばし，…のときはどうなるか探究しよう。さらに、和ではなくて差や積や商，他の演算のときはどのような性質があるか調べよう。

● 等式の変形の利点を考えよう。

● 「１＝２」の間違いを探そう。

第２章　連立方程式

● 学級を3人班と4人班に分ける方法を考えよう。

● 佐々立てをやってみよう。

● ２元１次方程式の整数解の規則性を見つけよう。

● 加減法に関する教科書の記述「それぞれの式を何倍かする。」の「何倍」とは具体的にどのような数か説明しよう。

● 加減法と代入法の利点と欠点を挙げてみよう。

● 多項式ごと代入する代入法について考えてみよう。（このことを理解すると，加減法は代入法の１パターンにすぎないことに気づける。）

● ３元１次連立方程式に挑戦しよう。

○ 解がない連立方程式，解が無数である連立方程式

● 連立方程式の文章題で，何を文字でおくべきか，場面ごとに考えてみよう。特に割合の問題について考えよう。

● 車の移動履歴から，どこの区間で高速道路に乗ったか探ろう。（類似：どれくらい自転車に乗ったか，どれくらい走ったか，どの区間で新幹線を利用したかなど）

● ３段階移動（例えば，徒歩，自転車，自動車）の文章題に挑戦しよう。（３元１次連立方程式として解いたり，２元１次連立方程式で解いたりなど，いろいろな場合が考えられる。）

● 理科で学習した化学反応式の係数調整を数学的に解決する方法を考えよう。

● 条件からトンネルや橋の長さを考えよう。

第３章　１次関数

● 比例となる事象の具体例（水槽，速さ，ばね，図形など）をいくつか挙げ，定数部分が０でない1次関数の具体例につくり替えてみよう。（ここでは，1次関数の定義を先に挙げて，そのあとに具体例を考え出す流れを提案している。教科書では先に具体的な場面を挙げて，あとから1次関数を定義することが多い。ここで提案している方法だと，1次関数の日常生活での活用が，生徒側から引き出せるのではないかと私は考えている。）

● 落雷地点までの距離を推測しよう。

● y=ax+b のaとbを変化させると、グラフはどのように変化（移動）するだろう？

● 直線のグラフを表す式は、すべて１次関数であるだろうか？

● 切片が分数である１次関数のグラフのかき方を考えよう。

● グラフに格子点がない１次関数（つまり，方眼紙にプロットできない）はあるだろうか？具体例を挙げてみよう。どのような特徴があるだろうか？また，格子点がないときは，どのようにグラフをかけばよいか考えよう。（１目盛の値を変えることが考えられる。）（高校の数学Ａの知識から，係数の最大公約数に着眼することで，格子点の有無を判断できることがわかる。）

○ １次不定方程式

● AEDの使用のタイミングと救命率の関係を調べてグラフにまとめよう。

● どっちが急でしょうクイズに挑戦しよう。何がわかれば急かどうかがわかるだろうか。

● ２元１次方程式とグラフの関係を考察しよう。また，方程式の整数解は，グラフ上でどのように分布するか考察しよう。

○ ダイヤグラム

● ウサギとカメの話をグラフで表そう。ウサギが勝てるように物語（グラフ）を調整しよう。

● 電車のダイヤグラムを読み取ろう。

● スクールバスのダイヤグラムを作成しよう。

● 底が階段状の水槽に水を入れるときの水量のグラフを考えよう。

● 水槽の入水と出水の両方を同時にするときのグラフを考えよう。

● 携帯電話の料金プランを分析しよう。

● 1次関数のグラフの傾きを角度で表現できないだろうか。（ルートを用いることになるため，中３へ続く課題となる。）

● 海水面の上昇を１次関数とみなして考えよう。

● 樋口一葉の身長を推定しよう。（全学調より）

第４章平行と合同

○ 同位角の関係は推移律を満たさない。

○ 平行線公理

○ 「同位角が等しいならば平行である」ことの証明はできない？？

○ 循環論法

● 図形の基本性質について，一般的に成り立つことを数学的に証明しよう。

● 平行線にギザギザ問題の公式をつくろう。

● ブーメラン型、ちょうちょ型の公式をつくろう。

● ブーメラン型の辺の数やへこみの数をかえるとどうなるか探究しよう。

● 星形五角形の内角の和は？

● 星形多角形の内角の和は？

● 球面三角形の性質を探ろう。

● これまで学んできた用語（例えば，教科書の太字）の定義を確認しよう。（特に，小学校のときから慣用的に用いてきた用語は定義を曖昧にしていることがある。「整数」，「分数」，「点」，「直線」，「三角形」など，意外と難しい。数学用語からはなれて別の分野の用語の定義を確認する活動も考えられる。）

● 三角形の合同条件として、３つ以外の条件は考えられないのか。例えば、「３組の角がそれぞれ等しい」や「２組の辺とその間ではない角がそれぞれ等しい」、「１組の辺と２組の角がそれぞれ等しい」などは、条件として適切か？

第５章　三角形と四角形

● ３辺の長さが等しい三角形を正三角形という。では，正方形や正六角形の定義は何だろうか？

● 折り紙で正三角形をつくろう。

● 直角三角形の合同条件をつくろう。

● 合同な四角形で平面をしきつめられるかな？五角形ではどうか？（平面充填を題材にした内容。四角形は任意の形で可能。五角形は15種類あることが知られている。）

● 正多角形で平面充填を考えよう。

● 平面充填のデザインにチャレンジしよう。（エッシャーの絵を参考にする。）

● 仮定条件を変更してみよう。（正方形→平行四辺形など）

● 四角形の分類をベン図を用いてまとめよう。

○ ミウラ折り

● ユークリッドの原論を読み解こう。

第６章　確率

● 「効率よく」「間違えないように」場合の数を数え上げる方法を考えよう。

○ 順列と組合せ

● 点字の種類は何通りあるか？なぜ，６つの点で表記をするのだろうか？

● 立方体型のカレンダーのしくみを考えてみよう。（立方体なのに全ての日付をまかなえる理由を考えよう。）

● すごろくのある場面における勝率を考えてみよう。

● 日常生活で「同様に確からしい」場面と「同様に確からしくない」場面を挙げてみよう。

● サイコロは本当に同様に確からしいのか。視聴者参加のローカルテレビ番組を例に考えてみよう（山口放送「熱血テレビ」）。

● 「○○○△△☆」がそれぞれの面に書かれたサイコロを２つふるとき，いちばん出る（確率の高い）組合せはどれとどれの組合せだろうか？（表や樹形図などのツールを用いて説明しよう。）

● じゃんけんは同様に確からしいのか？

● 「サザエさんで５回連続じゃんけんで同じ手を出した！」はどのくらいすごいニュースなのか？

○ 数学的確率と統計的確率

○ 降水確率の考え方

○ モンティホール問題

○ 条件付き確率

第７章　データの分布

● 箱ひげ図の利点と欠点を挙げよう。

● 箱ひげ図から読み取れないことは何だろうか。

● 箱ひげ図とヒストグラムの使い分けについて考えよう。

● 資料やメディアで箱ひげ図が使われている場面を探して，読み解き，共有しよう。

中３

第１章　式の展開と因数分解

● 展開を説明しよう（式変形・面積・樹形図）。

● 和と積の値から２乗の和の値を求めよう（基本対称式）。３乗の和や、差、２乗の差なども求められないか考えてみよう。

● 展開するときの乗算回数の規則性を探ろう。

○ ソフィジェルマンの恒等式

● 9991や2021を素因数分解しよう。

● 平方数かどうかの見分け方

● 平方数表の規則性

● 図形数の規則性

● マクドナルドの期間限定メニュー「ハミダブチ」と「トリチ」はどちらがお得なのだろうか。（肉の面積を比較して考えよう。）

● 奇数の2乗から1引いた数は8の倍数となることを証明しよう。

● 「S=al」（道の面積＝中央線✕幅）について，さまざまな図形で成り立つか考えてみよう。

● １枚の紙を折って冊子をつくるときのページの規則性を探ろう。

● 第１章で学んだことを通して，展開や因数分解の良さや有用性について話し合おう。

第２章　平方根

● 2乗したら2になる数を探ろう。

● √nが数直線上に表現できることを説明しよう。（数直線上に作図しよう。）（このことから，大小関係があることが説明できる。）

● 面積がnになる正方形を方眼用紙にかこう。（上と同じく，√nの存在を確かめる活動である。）

● √nやπの形をした数以外の無理数について，本やインターネットで調べてみよう。

● √2が無理数であることを証明しよう。

● πが無理数であることの証明について，本やインターネットで調べてみよう。

● πを数直線上に表現できることを説明しよう。（数直線上に作図しよう。）

○ バビロニアの粘土板

● 循環小数を分数に変換する方法を考えよう。

● 「142857」の性質を探ろう。

● 近似値として止める桁のタイミングについて考えよう。（円周率の近似値は，3.14がよく用いられる。以前，小学校で3が用いられたことも話題になった。なぜ，3.1は使われないのだろうか。逆に，もっと桁を増やした3.142はどうだろうか。（誤差が大きいと使いにくいことに気付かせたい。））

● AbemaTVの「43.5k視聴」はどういう意味だろうか。有効数字の観点から考えてみよう。

● 分母の有理化の目的について考えよう。

● √2＋√3が√5にならない理由を説明しよう。

● 分母が√m＋√nの形をした分数の分母の有理化の方法を考えよう。

● 分母の有理化ができない分数はあるのか考えてみよう。

● コピー用紙のしくみを探ろう。

● 丸太からとれるいちばん大きい長方形の角材について考えよう。

● カメラの機能（シャッタースピードと絞り値，適正露出）について考えよう。

● 立方根を定義して，性質を調べ，平方根と比較しよう。

○ n乗根

○ 整数部分と小数部分

第３章　２次方程式

● それぞれの解法の利点・欠点を挙げてみよう。

○ 解と係数の関係

○ 重解

● ２次方程式の解の存在条件を考えよう。

● 1＋2＋……＋nの値の規則性を探り，その値からnの値を求める方法を考えよう。

● 2乗しても変わらない数（冪等元）を求めよう。また，3乗しても変わらない数についても考えよう。

第４章　二乗に比例する関数

○ 「放物線」の名称の由来

○ 放物線の拡大・縮小

○ パラボナアンテナ

● 空走距離と制動距離について考えよう。

● 縦横線の交点の数の規則性

● 電車の運賃表のしくみ（電車の運賃表を予測しよう。）

● 駐車料金をグラフにして，いちばん安い駐車場を考えよう。

● 理科で学んだ諸法則は，どのような関数で表せるだろうか。（比例が多い）

● ドラえもんのひみつ道具バイバインを関数で説明しよう。（指数関数）

第５章相似

● 折り紙の三等分と五等分の方法を考えよう。

● 木の高さを予測する方法を考えよう。

○ 黄金比・白銀比・青銅比

● 正五角形の対角線の長さは？

● ホールケーキの４号は約３人分。では、８号は約何人分？

第６章　円

● 円に直線を引いて、等しい角を探そう。

○ 方べきの定理

○ スチュワートの定理

第７章三平方の定理

○ いろいろな三平方の定理の証明

● 整数比の直角三角形にはどんなのがある？その特徴は？

● 三平方の定理を工夫して用いよう。

● 他に角度から推定できる直角三角形の比はないだろうか？

● 正三角形の面積公式をつくろう。

● ひもを最短で巻き付ける方法を考えよう。

● 富士山やスカイツリーからどこまで見渡せる？

● 直角三角形の回転体（円錐など）の体積の比較

● ドーナツ型の図形（異なる半径の同心円のくりぬいた部分）の面積を求めるために必要なただ１つの長さとは？（大きい円の弦で小さい円と接するものの長さが分かれば，三平方の定理から，２つの円の半径の２乗の差が求められる。）

● 1次関数のグラフの傾きを角度で表現できないだろうか。（中２からの継続課題。有名角以外は三角比を用いるため，高校への継続課題となる。）

第８章　標本調査

● 身の回りで、標本調査の手法が使われているものを探そう。また、なぜ標本調査を適用しているのか考えてみよう。

● 標本調査の利点・欠点を挙げてみよう。

● 標本調査を実際にやってみよう（ビー玉、BB弾など）。

● 視聴率の調査方法を調べて、分析してみよう。

● 世帯視聴率とコア視聴率について調べ，テレビ局はどちらを重視するべきか考えよう。（スポーツ紙がある番組の世帯視聴率の低さを記事にした際，ある芸人がコア視聴率を見てほしいと言及した。スポンサーはコア視聴率を重視しているとのことだった。）（数学的には，母集団のとり方の話になる。ほしい情報に応じて，母集団を制限して無作為に抽出することが考えられる。）

● ポテトチップスの品質検査は、どのくらいの割合で行っているか考えてみよう。

中学校探究活動（単元融合）

● 4分の砂時計と7分の砂時計で10分間を計ってみよう。他のパターンでもできるだろうか？（同様の実践が，計量カップでもできる。4Lのカップと7Lのカップで10Lを計る。）

● 地球から星までの距離を計算してみよう。（理科との横断的学習）

● √n の線分を作図する方法を考えよう。

高校数学Ⅰ

○ 「別解」の捉え方

● 中学校の学習内容を振り返り、フローチャート化してみよう。代数分野と幾何分野の結び付きを考えよう。

第１章　数と式

● 中学校の乗法公式を拡張させよう。

● 乗法公式をもとに因数分解の方法を考えよう。

● ソフィジェルマンの恒等式を導こう。

● 因数分解の問題をつくろう。それらを分類しよう。

● 平方根の定義を追求しよう。（「0の平方根は0である。」の文の必要性）

● 三重根号のはずし方を考えよう。

● 立方根の二重根号のはずし方を考えよう。

● n/7 の小数部分の循環の規則性を探ろう。

第２章　集合と命題

● 「このクラスで○○なのは10人」を予想して当てよう。

● 日常生活でベン図が使われている場面を探そう。（例えば，コロナウイルス対策の三密の説明としてベン図が使われている。）

● 集合における結合法則，交換法則，分配法則を考えよう。

○ 4つの集合のベン図

● 要素がn個の集合の部分集合の個数を推測しよう。（重複順列との関連）

● 「あるなしクイズ」を集合で捉えてみよう。（補集合の導入）

○ 任意と存在

● √2が無理数であることを証明しよう。また，πが無理数であることも証明できるだろうか？

第３章 2次関数

● y=ax^2+bx+cのa,b,cを変化するときのグラフの変化（コンピュータ使用）（ジグソー学習でもよいかも）

○ 放物線は全部相似

○ パラボラアンテナ

第４章三角比

● 15°，75°，36°の三角比を求めてみよう。→他に求められる三角比は？

○ 第一余弦定理と第二余弦定理

● 三角形の決定条件と辺や面積の求め方についてまとめよう。

● 正接定理をつくろう。

● ヘロンの公式を証明しよう。

● 正四面体の面積公式をつくろう。

○ ブラーマグプタの公式

● 内接四角形・内接五角形の面積公式をつくろう。

● 星形n角形の面積公式をつくろう。

第５章データの分析

● データを比較して分かることは？

● 外れ値の影響を受けない代表値を考えよう。

● テストで「偏差値」を見るのはなぜ？

● コロナウイルスの感染者数を分析しよう。

高校数学Ⅱ

第１章　式と証明

● 二項定理の活用法を検討しよう。

○ コーシー・シュワルツの不等式

第２章　複素数と方程式

○ カルダノの公式と虚数の必要性

○ ３次方程式の解の公式

○ ５次方程式以上の解の公式は存在しない。

○ 代数学の基本定理

第３章　図形と方程式

● 点と直線の距離の公式の絶対値の中の符号は何を表しているのか。

○ 極線の方程式

○ アポロニウスの円と垂直二等分線

第４章　三角関数

● 三角関数を定義するにあたってどんな準備が必要か？

● 度数法と弧度法の利点・欠点とは？

● 角度の歴史を調べよう。

● 加法定理を図形から導き出そう（鋭角）。

● sin，cos，tan以外の三角関数をつくろう。

○ cot，sec，cosec

● n倍角の公式をつくろう。

第５章　指数関数・対数関数

● 指数関数を定義するにあたってどんな準備が必要か？

● ドラえもんのひみつ道具バイバインを指数関数で説明しよう。

● 100!，50^100，2^600を大小比較しよう。

○ 0の0乗

● 常用対数の近似値の求め方を考えよう。

○ ベンフォードの法則

第６章　微分法と積分法

● 中学校の速さの問題において、なぜ歩くのがゆっくりなのだろうか？（平均の速さの利点・欠点を挙げてみよう。瞬間の速さの求め方を検討しよう。）

● 車で120kmの道のりを2時間半で移動した。速さを求めなさい。→時速48kmは「運転するのが遅い」のか？（上記と同じ流れ）

● ３次関数のグラフの概形を「導関数」を用いて予測しよう。座標をプロットして実際に確認してみよう。

● 一般にn次関数のグラフの概形の規則性を見いだそう。

● 6分の1公式を証明しよう。

高校数学Ⅲ

第１章　複素数平面

第２章　二次曲線

● ２点からの距離の和・差・積が一定の軌跡について考察しよう。

○ 円錐の切断

第３章　関数

第４章　極限

○ アキレスと亀

● フィボナッチ数列の項の差の極限が黄金数になることを確認しよう。また、初項を変更しても、黄金数は出現するだろうか。

第５章　微分法

○ テーラー展開・マクローリン展開

第６章　積分法

○ 微分方程式

○ 最速降下曲線

高校数学A

第１章　場合の数と確率

○ 無限集合の要素の個数（集合の濃度）

○ 可算集合

● マクドナルドのハッピーセットは全部で何通りか。

● 席替えは全部で何通りか。（階乗の変化の激しさも感じさせたい）（24人学級の場合，約6000垓通りになる）

○ 0!＝1 の理由

● Pの計算問題を作問して，性質を見いだそう。

● ナンプレは全部で何通りか。（2020京都大文理共通[5]を参考に）

○ 数珠順列

○ 完全順列，モンモール数

● 正多面体を塗り分けよう。

○ 四色問題

● 地図を四色で塗り分けよう。塗り分けるコツを共有しよう。三色では塗り分けられない理由を考えよう（反例を挙げよう）。

● 順列と組合せの比較表をつくろう。

● Cの計算問題を作問して，性質を見いだそう。

● 100Ｃ98の計算の方法を考えよう。

○ Ｃの値とパスカルの三角形

● 通行止めにしたら困る道はどれ？（同じものを含む順列）

● みかん50個をクラスみんなで分ける場合の数は何通り？全員１つはもらえるとすると何通り？（重複組合せ）

● サーティワンアイスクリームのトリプルの注文のしかたは何通りか。（カップとコーンで違う？）

○ カタラン数

○ 数学的確率と統計的確率

● 「結婚できる確率は，するかしないかの1/2」の考え方の誤りを指摘しよう。

○ クラスに同じ誕生日の人がいる確率

○ 鳩の巣原理

○ モンティホール問題

○ ランダムウォーク

● 接戦が見込めるすごろくをつくろう。（先攻が勝つ確率と後攻が勝つ確率が同じ）

● 後攻有利のすごろくをつくろう。

○ 期待値

● 宝くじの損得を考えよう。

● サイコロを何回振ったら，１～６まで全部出るのか。（期待値）

○ ビュッフォンの実験（確率と円周率）

第２章　図形の性質

● 内分点と外分点の作図方法を考えよう。

● 角の三等分線の比を考えよう。

○ 二等分線におけるスチュワートの定理

● 二等分線におけるスチュワートの定理を証明しよう。（余弦定理か方べきの定理を用いる。）

● 外角の二等分線の長さを求めよう。公式化しよう。

● 三角形の外接円の半径を辺の長さで表そう。

● 三角形の内接円の半径を辺の長さで表そう。

● 三角形の重心が質量の中心になっているか実際に検証しよう。

● 三角形の頂点と垂心と垂線の足の合わせて7点の中から4点を選び，円がいくつ描けるか考えよう。

● 三角形の内心と傍心の関係を考察しよう。

● 傍接円の半径の公式をつくろう。

● 三角形の五心を作図しよう。また，外接円，内接円，傍接円を作図しよう。（特に，傍接円は目分量ではなかなかうまくいかないため，コンパスと定規で作図して，性質を検証しておく。）

● 三角形の五心の関係や共通点を考察しよう。

● 正三角形の五心について考えよう。（外心，内心，重心，垂心が一致することを示そう。）

● 三角形の五心と三角形の面積の関係性を考察しよう。

○ リュイリエの定理

● 三角形の五心を多角形に応用しよう。

● 三角形の五心以外の心をつくって（または調べて）考察しよう。

○ フェルマー点

○ オイラー線

○ 加重重心

● チェバの定理は交点が外部にあっても成り立つか？（成り立つ。）

○ トレミーの定理

● トレミーの定理を用いて，正五角形の対角線の長さを求めよう。また，それを利用して，36°の三角比を考えよう。（数Ⅰで三角比を学んでいる場合，有名角の三角比の丸暗記をしようとしている生徒にこの題材で警鐘を鳴らしたい。）

● トレミーの定理とその逆を証明しよう。

● 円に外接する多角形の性質を考えよう。

● 円に外接する四角形の対辺の和に関する公式は，他の多角形でも成り立つか考えよう。

● 直角三角形の外接円の半径，内接円の半径，傍接円の半径を求めよう。

● 接弦定理を証明しよう。

● 方べきの定理を導き出そう。

○ 放物線における方べきの定理

● √n の線分を作図する方法を考えよう。

● √abの線分を作図する方法を考えよう。

○ 震源・震央の特定

○ カヴァリエリの原理と球の体積

○ ルーローの三角形

○ ルーローの三角形とお掃除ロボット

○ 正五角形の作図

● 三垂線の定理を証明しよう。

● オイラーの多面体定理は、どんな場合でも成り立つのか。（穴があいている場合はどのような法則があるか。）

● サッカーボール型の立体について考察しよう。（準正多面体）

● 正多面体の体積の公式をつくろう。

● 正多面体が５種類しかないことを証明しよう。

● 正多面体の各辺の中点を結んだ立体や，正多面体の各面の外接円の中心を結んだ立体について考えよう。

● 正多面体の外接球と内接球の半径を求めよう。

● 正多面体の回転体を考えよう。

○ 等面四面体

● 球面三角形の性質を探ろう。

● ２つの球の位置関係を考えよう。（円のときの考え方を参考にする。）

○ 位相幾何学（トポロジー）

第３章　整数の性質

● 整数の世界だけで演算は成り立つだろうか。どの演算にどんな調整が必要か。

● 倍数の判定法を見つけ，証明しよう。（7×11×13＝1001を利用して，7, 11, 13の倍数の判定法を見つけよう。）

● 大きい数どうしの最小公倍数と最大公約数を工夫して求めよう。

○ エラトステネスのふるい

● 素数が無限にあることを証明しよう。

● 大きい数の素数の判定法を調べよう。

● 9991は素数かどうか判定しよう。

● 素因数分解の一意性を証明しよう。

○ 双子素数，三つ子素数，いとこ素数，セクシー素数

○ 楔数

○ 完全数

○ 友愛数

○ カプレカー数

○ オイラー関数

○ 階乗の末尾の0の数

○ 組合せＣの末尾の0の数

○ 二重階乗の末尾の0の数

● nのn乗とnの階乗を比較しよう。

● 階乗と平方数・立方数の関係を考察しよう。

○ フェルマーの小定理

● 曜日計算を考えよう。

● 連続するn個の整数の積の性質を考えよう。

● 楔数が４連続では現れない理由を考えよう。

● 合同式の演算の定義を確認しよう。

○ 合同方程式

○ ピタゴラス数

● ユークリッドの互除法を図形的に説明しよう。

○ 百五減算（年齢当てクイズ）

○ 不定方程式の整数解の図形的意味

○ 不定方程式ax+by=1の整数解の存在条件

○ 一次不定方程式と格子点

● 循環しない小数は無理数であることを証明しよう。

○ 16進法

○ 1進法

● n進数が使われている日常生活の場面を探そう（調べよう）。

● 忌み数について調べよう。（日本では４と９を避ける。ホテルや駐車場の番号は、８進数と捉えられる。）

○ ガウス記号

● 暗号を解読しよう。

● レピュニット数の性質を探ろう。

高校数学B

第１章　平面ベクトル

● 自分たちの学校の場所をどうやって説明する？（座標と位置ベクトルの比較）

● 三角形の五心の位置ベクトルを求めてみよう。

第２章　空間ベクトル

● 球における方べきの定理を考えよう。

○ 球面角の定理とその逆

○ 接割定理

● n次元ベクトルについて考えてみよう。

第３章　数列

● （　）にあてはまる数を推測しよう。

● n乗数の和について考察しよう。

● 「ハノイの塔」のしくみを解明しよう。

● ニュートン法を用いて，√2の近似値を求めよう。

● フィボナッチ数列の一般項を求めて考察しよう。

● 隣接n項間の漸化式について考察しよう。

○ 累積的帰納法

○ いろいろな帰納法（とびとび，二変数など）

第４章　確率分布と統計的な推測

○ 降水確率の考え方

高等学校探究活動（単元融合）

● １＋１＝０の世界。加減乗除を定めて，法則が成り立つか確認してみよう。（群・環・体）

● メビウスの帯の性質を調べよう。（向き付け不可能な多様体）

○ 折り紙と数学

○ だまし絵と数学

2018.11

中高数学の授業アイデア集